Efectivamente, es más si no quieres complicarte mucho, puedes pasar desde el SSD lo que quieras salvar al disco duro, luego desconectas físicamente el cable sata que va desde el disco duro a la placa base y se te queda solo el SSD para formatear y hacer las pruebas.Son cosas diferentes la BIOS es el software propio de la placa base. La placa base es la que orquesta todo el sistema. Tu sistema operativo para que veas esta almacenado en un disco duro, sea cual sea. Imagínate si fuese lo que tu dices estarías creando una dependencia entre ese disco duro y tu placa base.
Como dice James la respuesta es No, Tu cuando actualizas la Bios estas actualizando el software de la placa base directamente, windows no tiene que ver.
Apúntate tu clave de windows 10 antes de reinstalar windows. Y cuando tengas el instalador de winwdows 10 en un pendrive asegúrate de formatear bien solamente el disco duro ssd donde tengas el sistema operativo (Este formateo se hace en la instalación de windows). Asegúrate de no equivocarte y no formatees el disco duro de almacenamiento de datos.
Así puedes dejar ese disco duro para después y ya lo estás descartando en la búsqueda del problema.