Hola.
La GTX 1060 consume menos y aporta FPS más estables en juegos ""más antiguos"", en cambio la RX 580 tiene 8GB y funciona mejor en juegos nuevos. Si a lo que vas a jugar son a juegos Actuales, diría que la AMD te daría más alegrías.
La Nvidia rinde mejor en DirectX 11, la AMD en DirectX 12.
Por otro lado, si luego compras un monitor FreeSync, el "pack" amd, te saldría bastante más barato.
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Otra cosa a decirte, es que teniendo una GTX 970, no veo un buen salto como para cambiar a unas gráficas actuales equivalentes a ésta. Si te fueses a por la GTX 1070, vale, pero es que la 1060 es una 970 "mejorada", rinden parecido.
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GTX 970, GTX 1060 y RX 580 on gráficas equivalentes en rendimiento.