Si quieres jugar de vez en cuando, en tu situación lo mas urgente para ti es la gráfica porque ahora estás con la integrada.
El I5-8500 y un HDD aún te sirven para dar guerra, pero con ese presupuesto que tienes en mente ya puedes cambiar. Para lo que comentas que quieres hacer estoy de acuerdo que te sale rentable.
Y haz caso a la gente que te recomienda un SSD, porque ya es casi obligatorio. Pasar de instalar las cosas de un HDD a un SSD se nota en el sistema operativo y se nota en los juegos, y si alguien te dice que no se nota es que se ha fumado un porro y tiene alterada la percepción del tiempo.
Ahora mismito vengo de jugar al Helldivers 2 y si estás en un grupo donde los 4 jugadores tienen SSD las pantallas de cargas son de 15 segundos, pero cuando hay alguien que solo tiene un HDD te comes con patatas 1 minuto y medio en cada carga. Los SSD ya empiezan a ser incluso un requisito mínimo en algunos juegos, y eso será mucho mas habitual a partir de ahora.
No se que pensarán los demás, pero es posible que lo que mas te renta económicamente es que que el cambio de HDD a SSD lo hagas cuando cambies a una placa que ya soporte SSD NVMe directamente.
Lo que si es cierto es que la diferencia entre un SSD SATA y un buen NVMe se nota menos en juegos, 5-10 segundos en la mayoría. Pero en otras tareas la diferencia entre un SSD SATA y un NVMe es bastante, ya depende de si eso es importante para ti.