Bueno, realmente, en ningún caso puedes controlar la ip pública, al menos en lo que se refiere a usuarios domésticos.
El CGNat hace referencia a la compartición de una dirección pública por parte de un grupo de usuarios. Esto implica no poder redireccionar puertos ya que no con con una ip pública
Tu ISP puede cambiarte la ip pública, puede cambiarte la configuración que quiera, incluso puede reiniciar/apagar tu router. Tienen acceso completo, es la forma de dar soporte a usuarios.
¿Para qué necesitas que tu ip pública no cambie?
Quizá te interese un servicio de DNS dinámico, del tipo no-ip o duckdns.